Ok

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies. Ces derniers assurent le bon fonctionnement de nos services. En savoir plus.

mercredi, 11 mars 2009

arithmétique

(bac liban 2005)

On considère l'équation

(E) : 109x - 226y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
      (a) Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation (E) ?
      (b) Montrer que l'ensemble des solutions de (E)

est l'ensemble des couples de la,forme (141 + 226k ;68 + 109k),
           où k appartient à IZ
           En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul d inférieur

ou égal à 226 et un unique entier naturel e
           tels que 109d = 1 + 226e.

           (On précisera les valeurs des entiers d et e).

 2. Démontrer que 227 est un nombre premier.

 3. On note A l'ensemble des 227 entiers naturels a

    tels que a ^226.
    On considère les deux fonctions f et  g de A dans A

 définies de la manière suivante :
    à tout entier a de A, f associe

 le reste de la division euclidienne de a109 par 227.
    à tout entier a de A, g associe

 le reste de la division euclidienne de a141 par 227.à

      (a) Vérifier que g[f(0)] = 0.
           
      (b) en déduire que, quel que soit l'entier non nul a de A,

                  g[f(a)] = a.
           Que peut-on dire de g[f(a)]= a?